教育论文

小学数学数与运算“图式教学”实施策略探究

时间：2025-08-31 17:45 所属分类：教育论文 点击次数：

　　摘 要：基于金沙县小学数学教学的现状调查发现，当前县域小学数学数与运算教学中，学生的抽象概念转化困难是首要痛点，而教师的教学方法仍以传统讲授为主导，无法解决学生面临的痛点问题。图式教学通过“图形—符号—语义”的多元转化，为小学生搭建起从具象感知到抽象思维的桥梁，能直观化呈现破解抽象认知障碍，能结构化整合促进知识网络建构，还能通过情境化设计激活学生的本土生活经验，实现从“教师讲算法”到“学生建构算理”、从“单一符号表征”到“多元图示转化”、从“机械重复练习”到“深度思维训练”的三重转化。在实际应用中，针数的认知识教学，可采取“具象—半抽象—抽象”图式转化策略;针对运算原理教学，可采取“过程可视化”图式解析策略;针对数量关系认识教学，可采取“模型化”图式建构策略。实践表明，图式教学能有效破解县域小学数学教学困境，为落实新课标“注重直观与抽象结合”的要求提供了可操作的实践范式。

　　关键词：小学数学数与运算;图式教学;实施策略

　　引言

　　2022年版《义务教育数学课程标准》要求“数与运算”教学中要引导学生“通过实物、模型、画图等方式理解数的意义”[1]，但当前县域小学数学教学中，传统讲授式教学仍占主导，导致学生普遍存在“会算不懂算理”“能解题却讲不清思路”的问题。以笔者所在小学为例，学生认知呈现“具象思维依赖强、抽象转化能力弱”特点，在分数、小数等内容学习中困难突出。图式教学通过可视化工具搭建“具象—抽象”转化桥梁，其理论价值在于填补县域教学中直观与抽象衔接的空白，在笔者所在小学实验班的实践已显现成效。本研究采用行动研究法，选取6个实验班(286名学生)开展教学实验，结合本土化情境，探索适配县域学情的图式教学路径。

　　1.小学数学数与运算教学现状及图式教学的价值

　　1.1 县域小学数学数与运算教学现状调查

　　为精准把握县域教学实际，笔者带领课题团队于2024年3-4月对金沙县第四小学、岩孔街道中心小学等6所县城及乡镇学校(统称“县域小学”)开展调研，覆盖3-6年级学生1246人、数学教师58名，采用“学生作业错误分析+教师课堂观察+教学访谈”三维数据采集法。结果显示，县域和乡镇学生在数与运算领域的学习障碍呈现显著共性特征，教师教学模式也存在亟待突破的瓶颈。

　　学生层面，抽象概念转化困难成为首要痛点。在三年级“两位数乘一位数”单元测试中，83.6%的错误集中于算理理解偏差，如将“12×3”的竖式计算结果写成“36”却无法解释“30+6”的来源;五年级“分数的意义”教学后，67.2%的学生能背诵“把单位‘1’平均分成若干份”的定义，但仅29.4%能正确用阴影表示出一张长方形纸的3/4。知识碎片化现象同样突出，四年级学生在解决“超市促销买三送一”的实际问题时，虽能独立完成“总价÷数量”的运算，却有58.3%的学生忽略“赠送”条件导致数量计算错误，反映出运算技能与生活情境的割裂。

　　教师教学方法仍以传统讲授为主导，对抽象概念的教学“重记忆轻理解、重结论轻过程、重内涵轻外延、重课本轻实践”[2]，无法解决学生面临的痛点问题。课堂观察数据显示，68.9%的课时采用“例题讲解—练习巩固”的单向传输模式，仅有12.1%的课堂会使用教具或画图辅助教学。在“小数加减法”教学中，82.8%的教师直接演示竖式计算规则，却鲜少引导学生通过元角分模型或长度单位换算理解“小数点对齐”的本质。可视化工具使用存在显著局限：教师常用的教学具中，直尺、计数器占比达91.4%，而线段图、集合图等结构化图示的使用率不足15%，且多停留在教师板演层面，学生自主绘制机会匮乏。

　　教师访谈中，75.9%的教师认为“县域学生基础薄弱，只能通过反复练习巩固”，53.4%的教师表示“缺乏系统的图示教学方法培训”。这种教学认知与新课标“注重直观与抽象结合”的要求形成反差，也凸显了图式教学在县域课堂中的应用必要性。

　　1.2 图式教学在数与运算教学中的独特价值

　　图式教学以可视化表征为核心，通过“图形—符号—语义”的多元转化，为小学生搭建起从具象感知到抽象思维的桥梁[3]，其适配性体现在三个维度的协同作用。

　　一是直观化呈现破解抽象认知障碍。如教学“分数除法”时，用“折纸—涂色—分割”的递进图示，将1/2÷3转化为“把半个月饼平均分给3人，每人得到多少”的可操作情境。

　　二是结构化整合促进知识网络建构。传统教学中，“小数的意义”与“小数的性质”常被割裂成独立知识点，而图式教学通过“米尺模型—正方形面积模型—数轴模型”的串联使用，帮助学生发现0.5、0.50、0.500在不同表征中的等价性。这种整合式学习使五年级学生在解决“比较0.3和0.299大小”的问题时，正确率较对照班提高28.7%，且能自主关联“小数的计数单位”进行解释。

　　三是情境化设计激活本土生活经验。本土生活经验对小学生数学学习有积极的促进作用[4]。针对县域和乡镇学生熟悉农耕、商贸场景的特点，图式教学可嵌入“玉米地行距计算”“农贸市场价格比较”等本土化元素。如教学“百分数”时，用扇形图呈现“金沙县茶叶种植面积占耕地总面积的15%”，结合学生家庭茶园劳动经历理解百分率的实际意义。这种设计使抽象的数学概念获得生活锚点，更利于学生理解。

　　对比传统教学，图式教学可实现三重转变：一是从“教师讲算法”到“学生建构算理”;二是从“单一符号表征”到“多元图示转化”;三是从“机械重复练习”到“深度思维训练”：图式绘制过程中，学生需经历“问题解构—关系提炼—图形表达”的高阶思维过程，使运算能力与几何直观素养同步发展。新课标强调“借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象”，图式教学正是这一理念的具象化实践，为小学数学教学提供了可操作的转型路径。

　　2.小学数学数与运算“图式教学”实施策略构建

　　2.1 数的认识：“具象—半抽象—抽象”图式转化策略

　　数的认识教学需顺应小学生“具象优先”的认知规律[5]，构建三级递进的图式转化路径。低年级整数教学可从学生熟悉的生活物品切入，比如在“100以内数的认识”中，先用玉米棒、铅笔等实物图建立“1个十=10个一”的直观感知，再通过计数器拨珠图实现半抽象过渡，最终抽象为数轴上的点。金沙县第四小学一年级课堂实践显示，经过“20根小棒捆成2捆(实物图)→计数器十位拨2颗珠子(半抽象图)→数字‘20’书写(符号)”的转化训练后，学生数的组成表述正确率从43.5%提升至89.2%。

　　小数概念教学需突破“小数点后数字越多数值越大”的认知误区。三年级“小数的初步认识”可采用“元角分模型—米尺线段图—正方形面积图”的图式序列：先用1元纸币与1角硬币的实物图理解0.1元=1角，再用1米长的线段图表示0.1米=1分米，最终通过正方形被平均分成10份的面积图建立“十分之几”的分数与一位小数的联系。针对县域学生对价格敏感的特点，设计“小卖部购物”情境图，让学生用涂色方式表示商品价格(如用10格长方形表示1元，涂3格表示0.3元)，这种具象化处理使小数大小比较的正确率提高37.6%。

　　分数教学应强化“平均分”的图式体验。五年级“分数的意义”教学可分三步推进：首先用圆形蛋糕、长方形菜地等实物图进行“对折—涂色”操作，在“把1块蛋糕平均分成4份”的过程中感知部分与整体关系;接着用带刻度的线段图表示“1米的3/4”，理解分数的度量意义;最后通过“同分子异分母分数比较”的集合图，发现分数大小与分母的关系。针对县域小学生熟悉土地分配的生活经验，可设计“家庭承包地”分块图，让学生用分数表示“把2亩地平均分给3户人家，每户分得几分之几”，这种本土化情境使抽象的分数单位概念获得生活支撑，概念迁移能力较传统教学提升42.1%。

　　不同学段图式选择需体现梯度差异：低段(1-2年级)以实物图、计数器图为主，如用“小棒捆扎图”理解数位;中段(3-4年级)侧重几何图形表征，如用“正方形分块图”认识分数;高段(5-6年级)引入关系图式，如用“数轴区间图”理解数的范围。这种螺旋上升的图式设计，既符合皮亚杰认知发展阶段理论，又适配小学生抽象思维缓慢发展的特点，使数感培养有了可视化的阶梯。

　　2.2 运算原理：“过程可视化”图式解析策略

　　四则运算教学应打破“法则灌输”的传统模式，通过“情境图—操作图—算式图”的三阶转化，让算理变得可视化和可操作。加法教学从“合并”情境切入，在“20以内进位加法”中，先呈现“小猴子摘桃”情境图(树上7个桃，树下5个桃)，引导学生用“凑十”操作图表示“把5分成3和2，7+3=10，10+2=12”的思维过程，最后转化为“凑十法”算式图(7+5=7+3+2=12)。金沙县第四小学二年级实验数据显示，这种图式教学使学生进位加法算理表述完整度是显增强。

　　减法运算可通过“拿走”与“比较”双情境图式构建。“两位数减一位数退位减法”教学中，如“23-8”，先出示“书架取书”情境图(23本书拿走8本)，再用小棒操作图展示“打开1捆小棒变成10根，13-8=5，10+5=15”的过程，最后用“破十法”分解算式图呈现算理。针对小学生擅长具象比较的特点，结合县域小学生认知经验，可设计“玉米地长度比较”情境(甲地玉米地长45米，乙地比它短7米)，用上下对齐的线段图直观呈现“大数—相差数=小数”的数量关系。实践表明，这样的处理策略能使学生减法应用问题正确率大幅提高。

　　乘法算理的图式解析需突出“相同加数求和”的本质。三年级“两位数乘一位数”(12×3)教学，可先用“3排座位，每排12个”的点阵情境图，再转化为“拆数操作图”(10×3=30，2×3=6，30+6=36)，最后用竖式分层图展示每一步的计算结果。为帮助学生理解“数位对齐”的必要性，设计“月饼盒包装”实物图(每盒12个月饼，3盒共多少个)，通过“整盒(10个)与零散(2个)”的分区计数，使竖式中“30”与“6”的书写位置获得具象支撑。实践表明，这样的策略可以让学生算理理解错误率明显降低。

　　除法教学的图式序列应体现“平均分”的两种含义。在“有余数除法”(14÷4)教学中，先用“分铅笔”的分物图展示“14支铅笔每4支装一盒，可装3盒剩2支”，再用计数器拨珠图呈现“14里面有3个4还多2”，最后用竖式图式标注“商3(盒)、除数4、被除数14、分掉12、余数2”的对应关系。实践中，针对学生中常见的“余数比除数大”错误，我们尝试设计“玉米分装”对比图式(正确分法：14个玉米每4个一袋装3袋剩2个;错误分法：装2袋剩6个)，引导这生通过视觉对比使余数必须比除数小的规则内化。结果发现，采用这样的策略，学生此类错误发生率从47.6%降至15.3%。

　　2.3 数量关系：“模型化”图式建构策略

　　实际问题解决需超越“关键词记忆”的浅层学习，通过图式建模实现数量关系的结构化理解。比如，“比多比少”问题教学可采用“双条线段图”模型，在“红花有25朵，黄花比红花多8朵，黄花有多少朵”的问题中，引导学生先画基准线段表示红花数量(标注25朵)，再画比基准线长的线段表示黄花，用虚线标出“多8朵”的部分，两条线段的直观对比使“大数=小数+相差数”的数量关系无需刻意记忆即可理解。我们在金沙县第四小学三年级的实验显示，使用该图式后，学生逆向变式题(“红花有25朵，比黄花少8朵，黄花有多少朵”)的正确率从31.7%提升至76.3%。

　　“归一问题”的图式建构需突出“单一量”的核心地位。教学“3个书包150元，买5个同样书包要多少钱”时，先用“3个书包叠放图”标注150元，引导学生用“大括号”图式表示“总钱数÷数量=单价”(150元÷3个=50元/个)，再用“5个书包并排图”呈现“单价×数量=总价”(50元×5个=250元)。针对县域学生大多熟悉农作物种植的特点，我们设计了“玉米播种”情境题(“2亩地需玉米种8千克，5亩地需多少千克”)，用“每亩地种子用量”的线段图作为中间桥梁，使抽象的“归一”模型与农耕经验建立联结，学生问题解决步骤的完整性明显增强。

　　“行程问题”的图式教学应突破“速度×时间=路程”的公式记忆。在“相遇问题”(甲每小时行60千米，乙每小时行40千米，相向而行3小时相遇，求两地距离)中，先用“人物行走”情境图模拟运动过程，再转化为“双箭头线段图”(甲从A地向右60km/h，乙从B地向左40km/h)，在3小时相遇点标注“60×3”和“40×3”的路程段，最后用大括号图式合并两段路程得到总距离。为帮助学生区分“相遇”与“追及”，我们设计了“赶集相遇”与“放牛追及”对比图式(前者箭头相对，后者箭头同向)，通过生活场景的视觉编码，使学生对数量关系模型的区分度提升较多。

　　“分数乘除法问题”的图式关键在于找准“单位1”。教学“一桶油重20千克，用去3/4，还剩多少千克”时，先用“整桶油”长方形图表示单位1(标注20kg)，将其平均分成4份并涂色3份表示“用去3/4”，未涂色部分标注“还剩1/4”，通过“20÷4×1”的图式分割直观呈现“求一个数的几分之几是多少”的计算过程。针对县域学生常见的“量率混淆”错误，我们设计了“粮食分配”集合图(总数20吨，其中玉米占3/5，标注“玉米吨数=20×3/5”)，用不同颜色区分“分率3/5”与“具体数量12吨”。实践结果表明，使用这样的策略，学生的此类错误发生率从52.4%降至21.7%。

　　图式模型的本土化改造是提升教学效果的关键。比如，我们将教材中的“城市公园”“地铁票价”等情境替换成自己学生所熟悉的“乡镇集市”“农用三轮车运输”等本土化场景，用“玉米种植面积”“烤烟产量”等学生熟悉的事物作为图式载体，使抽象的数量关系获得了地域文化的支撑，这种改造使学生问题解决的投入度明显增强，印证了图式教学与本土生活经验结合的有效性。

　　3.图式教学在县域小学的实践案例

　　我们以人教版一年级下册“两位数加一位数进位加法”(28+5)为例进行图式教学实践，教学流程围绕“情境具象化—图式可视化—思维显性化”展开。

　　情境导入环节，创设“学校运动会分发矿泉水”场景：“一年级(3)班有28名同学，体育老师又拿来5瓶水，每人1瓶够吗?”引导学生发现“28+5”的计算需求。学生自发提出用小棒帮忙计算，教师顺势提供学具袋(内有10根一捆的小棒2捆、零散小棒8根及5根单独小棒)，开启图式表征环节。

　　课堂观察显示，学生呈现三种典型操作路径：76%的学生先将8根零散小棒与5根合并，数出13根后捆成1捆(10根)和3根零散，再与2捆合为3捆3根(33);15%的学生直接将5根小棒中的2根与8根凑成10根捆扎，剩余3根零散与2捆组合;9%的学生尝试直接点数所有小棒。教师捕捉第一种方法进行全班展示，用磁性黑板演示“8根+5根=13根→1捆+3根”的动态过程，同步绘制“小棒捆扎示意图”(用长方形框表示整捆，竖线表示零散小棒)，标注“28+2=30”“30+3=33”的分步算式。

　　合作探究环节采用“同桌互教”模式：学生用彩笔在学习单上画“自己的计算图”，再向同伴解释“先算什么、再算什么”。教师巡视发现，学困生更依赖实物图的复制(如逐一画出33根小棒)，中等生尝试用“圈一圈”表示凑十过程，学优生则能简化为“28→30(+2)→33(+3)”的箭头图。

　　总结建模阶段，教师引导学生对比不同图式的共性：“不管怎么画图，大家都先把8根和5根合起来，为什么要先算这部分?”通过图式对比抽象出“凑十法”的核心——“将两位数拆成整十数和一位数，先算一位数加一位数凑成十，再算整十数加十几”。

　　结语

　　本研究立足新课标“数与运算”教学要求，针对县域小学生抽象思维薄弱、知识碎片化等痛点，构建了“具象—半抽象—抽象”三阶图式转化策略体系，形成了数的认识、运算原理、数量关系三大模块的图式教学实施路径。实践表明，图式教学能有效破解县域小学数学教学困境，为落实新课标“注重直观与抽象结合”的要求提供了可操作的实践范式。

　　参考文献：

　　[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社,2022.

　　[2]石永国.小学数学概念教学的提质探索[J].贵州教育,2025,(02):54-56.

　　[3]蔡宏圣.几何直观:小学数学教学的视角[J].课程·教材·教法,2013,33(05):109-115.

　　[4]王利.小学生生活经验与数学学习之间的关系[J].数学学习与研究,2020,(20):82-83.

　　[5]孟霞.关注“具象思维”,改进数学教学——以小学数学“图形与几何”教学为例[J].上海教育科研,2015,(12):86-87.